Matematik dilinde birlik sağlama gereksinimi on dokuzuncu yüzyıl sonlarına doğ¬ru duyuldu. Bu işi İlk görenlerin başında Alman matematikçi Georg Cantor gelir. Bu birlik kümelerle sağlanır. Zaten sonlu ve sonsuz kümeleri oluşturmak amacında olan Cantor (1845 -1918) bu amaca ilk ulaşanlardan biriydi. Daha fazla bilgi için tıklayın...
Kümelerin Gösterim Şekli:
1) liste yöntemi
Kümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir.
Örnek: A = { 1, 2, 3 } - A kümesinin eleman sayısı 3'tür. B = { 123 } - B kümesinin eleman sayısı 1'dir.
Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123'tür.
2) ortak özellik yöntemi
Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özeliği)} Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir
. Örnek: A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir.
K = { 0, 1, 2, 3 } ise bu küme K = { x | x Î N ve x < 4 } olarak gösterilebilir.
P = { a, b, c } ise bu küme P = { Alfabemizin ilk 3 harfi } olarak gösterilebilir.
3) venn şeması yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
Yanda A = { a, b, c } kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir.
Şema ile gösterilirken her elemanın başına nokta konulur ve kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır.
Kümelerde Temel Kavramlar
A kümesi Ahmet’in odasında bulunan eşyalar olsun.
A={kitaplık,saat,masa,ayna,yatak} s(A)=5 Eleman sayısı 5’dir.
Bu kümeyi ortak özellik yöntemiyle şöyle gösteririz.
A={eşya│Ahmet’in odasında bulunanlar}
“│” öyleki anlamına gelir ve “:” şeklindede gösterilir.
Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir.
B={x:x <100 ve x asal sayı}
Burada 100’den küçük asal sayılar dediğine göre sayarak kaç tane olduğunu bulabiliriz.Yani sonlu kümedir.
Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümelere sonsuz elemanlı küme denir.
C={x:x asal sayı}
Burada asal sayılar diyor.Asal sayıları sayarak bulmamız çok zor çünkü bir sürüdür.Yani sonsuz elemanlı kümedir.
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { } veya Ø sembolü ile gösterilir.
A={a,b,c,d,e}
B={c,d,e}
Görüldüğü gibi B’nin her elemanı A’nında elemanıdır.Bu durumda B, A’nın alt kümesidir. BCA olarak gösterilir.
Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
D={1,2,3,4} s(D)=4
C={a,b,c,d} s(C)=4
O zaman C≡D deriz.
Elemanları aynı olan kümelere eşit kümelerdenir.
A={a,b,c,d,e}
B={a,b,c,d,e}
O zaman C=D deriz.
Alt Küme Sayısı
n elamanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n formülüyle bulunur.
Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine özalt kümeleri denir.
n elamanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2n-1 formülüyle bulunur.
Örnek: A ={a,b,{b,c},c,{b},{a,c}}
Kümenin elaman sayısı s(A)=6
Kümenin alt küme sayısı 2n=26=64
Kümenin özalt küme sayısı 2n-1=26-1=64-1=63
n elemanlı sonlu bir kümenin r elemanlı her alt kümesine n’nin r’li kombinasyonudenir.
(n,r)=n!/(n-r)!.r! formülünü kullanırız.
Kümelerin Gösterim Şekli:
1) liste yöntemi
Kümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir.
Örnek: A = { 1, 2, 3 } - A kümesinin eleman sayısı 3'tür. B = { 123 } - B kümesinin eleman sayısı 1'dir.
Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123'tür.
2) ortak özellik yöntemi
Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özeliği)} Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir
. Örnek: A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir.
K = { 0, 1, 2, 3 } ise bu küme K = { x | x Î N ve x < 4 } olarak gösterilebilir.
P = { a, b, c } ise bu küme P = { Alfabemizin ilk 3 harfi } olarak gösterilebilir.
3) venn şeması yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
Yanda A = { a, b, c } kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir.
Şema ile gösterilirken her elemanın başına nokta konulur ve kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır.
Kümelerde Temel Kavramlar
A kümesi Ahmet’in odasında bulunan eşyalar olsun.
A={kitaplık,saat,masa,ayna,yatak} s(A)=5 Eleman sayısı 5’dir.
Bu kümeyi ortak özellik yöntemiyle şöyle gösteririz.
A={eşya│Ahmet’in odasında bulunanlar}
“│” öyleki anlamına gelir ve “:” şeklindede gösterilir.
Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir.
B={x:x <100 ve x asal sayı}
Burada 100’den küçük asal sayılar dediğine göre sayarak kaç tane olduğunu bulabiliriz.Yani sonlu kümedir.
Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümelere sonsuz elemanlı küme denir.
C={x:x asal sayı}
Burada asal sayılar diyor.Asal sayıları sayarak bulmamız çok zor çünkü bir sürüdür.Yani sonsuz elemanlı kümedir.
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { } veya Ø sembolü ile gösterilir.
A={a,b,c,d,e}
B={c,d,e}
Görüldüğü gibi B’nin her elemanı A’nında elemanıdır.Bu durumda B, A’nın alt kümesidir. BCA olarak gösterilir.
Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
D={1,2,3,4} s(D)=4
C={a,b,c,d} s(C)=4
O zaman C≡D deriz.
Elemanları aynı olan kümelere eşit kümelerdenir.
A={a,b,c,d,e}
B={a,b,c,d,e}
O zaman C=D deriz.
Alt Küme Sayısı
n elamanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n formülüyle bulunur.
Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine özalt kümeleri denir.
n elamanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2n-1 formülüyle bulunur.
Örnek: A ={a,b,{b,c},c,{b},{a,c}}
Kümenin elaman sayısı s(A)=6
Kümenin alt küme sayısı 2n=26=64
Kümenin özalt küme sayısı 2n-1=26-1=64-1=63
n elemanlı sonlu bir kümenin r elemanlı her alt kümesine n’nin r’li kombinasyonudenir.
(n,r)=n!/(n-r)!.r! formülünü kullanırız.
Georg Cantor'un yaşamı ile ilgili ayrıntılı bilgi için yandaki videoyu izleyiniz.
|
|